Question

7．定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0，且0≤x≤2，则x-b的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数，则可以将f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0转化为f（x²-2x）＜f（b²-2b），结合函数的单调性进一步可以转化为|x-1|≥|b-1|，即可得
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$，建立如图的坐标系：设z=x-b，借助线性规划的性质分析可得x-b的最大、最小值，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则函数f（x）的图象关于原点（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数；
f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0?f（x²-2x）＜-f（2b-b²）?f（x²-2x）＜f（b²-2b），
又由函数f（x）为减函数，则f（x²-2x）＜f（b²-2b）?x²-2x＞b²-2b?|x-1|≥|b-1|，
又由0≤x≤2，则有$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$，
建立如图的坐标系：设z=x-b，
分析可得对于直线b=x-z，当其过点（2，0）时，Z有最大值2，当其过点（0，2）时，Z有最小值-2，
故x-b的取值范围[-2，2]；
故答案为：[-2，2]．

点评 本题考查线性规划的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性分析得到关于x、b的不等式．