Question

2．已知函数$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+x）•cosx+{sin^2}x$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$B=\frac{π}{4}$，a=2且角A满足f（A）=0，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据f（A）=0，求解A，利用正弦定理求解b，根据sinC=sin（A+B）求解sinC，即可求解△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）化简$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+x）•cosx$$+{sin^2}x=\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]$，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=0，即$\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）=0$，
又∵0＜A＜π
∴$A=\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得：$b=\frac{sinB}{sinA}•a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
$sinC=sin（A+B）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，同时考查了正弦定理的计算．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题