Question

10．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．

Answer 1

分析 （ I）利用平方关系可得曲线C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．
（II）联立θ=α和ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，得ρ²+2ρ（cosα-sinα）-2=0，设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），可得ρ₁+ρ₂=2（cosα-sinα）=2$\sqrt{2}$$sin（α-\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（ I）曲线C的普通方程为（x+1）²+（y-1）²=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0．
（II）联立θ=α和ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，
得ρ²+2ρ（cosα-sinα）-2=0，
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），
则ρ₁+ρ₂=2（cosα-sinα）=2$\sqrt{2}$$sin（α-\frac{π}{4}）$，
由|OM|=$\frac{|{ρ}_{1}+{ρ}_{2}|}{2}$，得|OM|=$\sqrt{2}$$|sin（α-\frac{π}{4}）|$$≤\sqrt{2}$，
当α=$\frac{3π}{4}$时，|OM|取最大值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．