Question

1．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2sin（$\frac{3π}{2}$+x）sin（π-x），x∈R
（1）求函数f（x）的单调递增区间
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=-$\sqrt{3}$，a=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式倍角公式与和差公式可得：f（x）=-2sin$（2x-\frac{π}{3}）$，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）f（A）=-$\sqrt{3}$，可得sin$（2A-\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$0＜A＜\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2sin（$\frac{3π}{2}$+x）sin（π-x）
=$\sqrt{3}$cos2x-2cosxsinx=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=-2sin$（2x-\frac{π}{3}）$，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
因此函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）f（A）=-$\sqrt{3}$，可得sin$（2A-\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$（2A-\frac{π}{3}）$∈$（-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$，∴$2A-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$．
解得A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：${3}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc，可得bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA≤$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
∴当且仅当a=b=c=3时，△ABC面积取得最大值$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式倍角公式与和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．