Question

9．已知$\overrightarrow a=（3，-4）$，$\overrightarrow b=（cosα，sinα）$，则$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$的取值范围是（　　）

• A． [1，4]
• B． [2，6]
• C． [3，7]
• D． $[2\sqrt{2}，4\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 求出$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$的解析式，根据三角函数的性质求出其最大值和最小值即可．

解答 解：$\overrightarrow a=（3，-4）$，$\overrightarrow b=（cosα，sinα）$，
则$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（3+2cosα，2sinα-4），
故$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{{（2cosα+3）}^{2}{+（2sinα-4）}^{2}}$=$\sqrt{20sin（θ-α）+29}$，
其中sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，
故sin（θ-α）=1时，$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$取最大值7，
sin（θ-α）=-1时，$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$取最小值3，
故选：C．

点评 本题考查了向量的运算，考查三角函数的性质以及向量求模问题，是一道中档题．