Question

14．已知函数f（x）=|sinx|（x∈[-π，π]），g（x）=x-2sinx（x∈[-π，π]），设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t=（　　）

• A． 9
• B． 13
• C． 17
• D． 21

Answer 1

分析 利用三角函数的图象与性质求出f（f（x））=0的解的个数；借助函数图象判断f（g（x））=0和g（g（x））=0的解的个数．

解答 解：（1）令f（x）=|sinx|=0得x=kπ，k∈{-1，0，1}，
又f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，f（f（x））=0，
∴f（x）=0，∴x=kπ，k∈{-1，0，1}．
∴f（f（x））=0有3个根，即m=3．
（2）∵f（g（x））=0，
∴g（x）=kπ，k∈{-1，0，1}，
①若g（x）=0，则$\frac{1}{2}$x=sinx，作出y=$\frac{1}{2}$x和y=sinx的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）=0在[-π，π]上有3个解，
②若g（x）=π，则$\frac{1}{2}$x=sinx+$\frac{π}{2}$，作出y=$\frac{1}{2}$x和y=sinx+$\frac{π}{2}$的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）=0在[-π，π]上只有1个解，
③同理可得：当g（x）=-π在[-π，π]上只有1个解，
∴f（g（x））=0的根的个数为5，即n=5．
（3）由（2）中的第①种情况可知g（x）=0有3解，不妨设为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
则x₁+x₃=0，x₂=0，且$\frac{π}{2}$＜x₃＜π，
∵g（g（x））=0，∴g（x）=x_i，i=1，2，3．
①若g（x）=x₂=0，则g（x）=0有3解，
②若g（x）=x₃，则$\frac{1}{2}x$=sinx+$\frac{1}{2}{x}_{3}$，
设y=sinx+b（b＞0）与直线y=$\frac{1}{2}$x相切，切点为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{cos{x}_{0}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}{x}_{0}=sin{x}_{0}+b}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$，∵$\frac{1}{2}{x}_{3}$＞$\frac{π}{4}$＞b，
∴g（x）=x₃只有1解，
③同理可得：g（x）=x₁只有1解；
∴g（g（x））=0共有5个解，即t=5．
∴m+n+t=13．
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数图象的变换，属于中档题．