Question

3．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A-EF-C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，BE⊥AC，从而AC⊥平面BEFD，由此能证明平面ACF⊥平面BEFD．
（2）设AC与BD的交点为O，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，
∴AC⊥平面BEFD，
∵AC?平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．
解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，
分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，
∵DF∥BE，∴DF⊥BD，
∴BD²=EF²-（DF-BE）²=8，∴BD=2$\sqrt{2}$．
设OA=a，（a＞0），
由题设得A（a，0，0），C（-a，0，0），E（0，$\sqrt{2}，1$），F（0，-$\sqrt{2}$，2），
设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=2\sqrt{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=ax-\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{a}，1，2\sqrt{2}$），
设$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$是平面CEF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2\sqrt{2}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=a{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{1}=2\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{a}$，1，2$\sqrt{2}$），
∵二面角A-EF-C是直二面角，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{18}{{a}^{2}}$+9=0，解得a=$\sqrt{2}$，
∵BE⊥平面ABCD，
∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，∴tan$∠BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$．
∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．