如图.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点为A.左右顶点为B.C.右焦点为F.|AF|=3.且△ABC的周长为14．(1)求椭圆的离心率,的直线l与椭圆相交于不同两点P.Q.点N在线段PQ上.设λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$.试判断点N是否在一条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|=3，且△ABC的周长为14．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．

分析（1）由丨AF丨²=b²+c²=a²，则a=3，2（丨AC丨+a）=14，即可求得b的值，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率；
（2）方法一：由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，整理得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，即可求得x₀=$\frac{9}{4}$，λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$，利用$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，即可求得实数λ的取值范围；
方法二：由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，整理得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用求根公式，求得x₀=$\frac{9}{4}$，λ=$\frac{56k}{42k\sqrt{1-{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3\sqrt{1-{k}^{2}}}$≥$\frac{4}{3}$，即可求得实数λ的取值范围；
方法三：由题意可在$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，根据向量的坐标运算，求得P，Q坐标，代入椭圆方程，整理求得x₀=$\frac{9}{4}$，同方法一，即可求得即可求得实数λ的取值范围．

解答解：（1）由丨AF丨²=b²+c²=a²，则a=3，--------------------------（1分）
△ABC的周长为2（丨AC丨+a）=14，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+a=7，得b²=7，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；---------------------------------------------（4分）
（2）方法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}-{y}_{0}}$，化简得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂）①，-----（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$消去x，得（9k²+7）y²+56ky+49k²=0，
得y₁+y₂=-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$，y₁y₂=$\frac{49{k}^{2}}{9{k}^{2}+7}$，----------------------------------------------------（8分）
代入①式得y₀=-$\frac{7}{4}$k，由y₀=k（x₀-4），得x₀=$\frac{9}{4}$，
λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}}$，---------------------------------------（10分）
由$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，得0＜x₁-$\frac{9}{4}$≤$\frac{3}{4}$，则λ≥-1+$\frac{7}{3}$=$\frac{4}{3}$，
因此，N在一条直线x=$\frac{9}{4}$上，实数λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．------------------------------------------（12分）
【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-4），不妨设k＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），y₂＜y₁，
由λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，得λ=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}-{y}_{0}}$，化简得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂）①，（6分）
由y₁=λ（y₀-y₁），y₂=λ（y₂-y₀），得y₁+y₂=λ（y₂-y₁），②，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$消去x，得（9k²+7）y²+56ky+49k²=0，
可知△=（56k）²-4×（9k²+7）×49k²=49k²-36（1-k²）＞0，
得y₁+y₂=-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$，y₁y₂=$\frac{49{k}^{2}}{9{k}^{2}+7}$，y_1，2=$\frac{-56k±\sqrt{△}}{2（9{k}^{2}+7）}$，----------------------（8分）
代入①式得y₀=-$\frac{7}{4}$k，由y₀=k（x₀-4），得x₀=$\frac{9}{4}$，---------------------------------------（9分）
由②式得-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$=λ•$\frac{-\sqrt{△}}{9{k}^{2}+7}$，得λ=$\frac{56k}{42k\sqrt{1-{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3\sqrt{1-{k}^{2}}}$≥$\frac{4}{3}$，
因此，N在一条直线x=$\frac{9}{4}$上，实数λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．------------------------------------------（12分）
【法三：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），x₂＜x₁，由λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，
得$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，-----------------------------------------------------------------------（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4+λ{x}_{0}}{1+λ}}\\{{y}_{1}=\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4-λ{x}_{0}}{1-λ}}\\{{y}_{2}=\frac{-λ{y}_{0}}{1-λ}}\end{array}\right.$将P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入椭圆方程得------------------（7分）
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{4+λ{x}_{0}}{1+λ}）^{2}}{9}+\frac{（\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}）^{2}}{7}=1}\\{\frac{（\frac{4-λ{x}_{0}}{1-λ}）^{2}}{9}+\frac{（{\frac{-λ{y}_{0}}{1-λ}）}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$，-----------------（9分）
上面两式相减化简得x₀=$\frac{9}{4}$，
λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}}$，---------------------------------------（10分）
由$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，得0＜x₁-$\frac{9}{4}$≤$\frac{3}{4}$，则λ≥-1+$\frac{7}{3}$=$\frac{4}{3}$，
因此，N在一条直线x=$\frac{9}{4}$上，实数λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．----------------------------------（12分）

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

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