Question

18．根据下列条件求抛物线方程：
（1）顶点在原点，焦点为F（0，$\frac{1}{4}$）的抛物线的标准方程；
（2）顶点在原点，准线方程为x=3的抛物线方程；
（3）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线y=2x-4上的抛物线方程．

Answer 1

分析 （1）（2）设出方程，利用相应的性质，可得抛物线的方程；
（3）求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．

解答 解：（1）顶点在原点，焦点为F（0，$\frac{1}{4}$）的抛物线的标准方程为x²=y；
（2）顶点在原点，准线方程为x=3的抛物线方程为y²=-12x；
（3）直线y=2x-4交x轴于点A（2，0），与y轴交于点B（0，-4）
①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y²=2px，（p＞0），可得$\frac{p}{2}$=2，所以2p=8，
∴抛物线方程为y²=8x；
②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x²=-2p'y，（p'＞0），可得$\frac{p′}{2}$=4，所以2p'=16，
∴抛物线方程为x²=-16y，
综上所述，得此抛物线方程为y²=8x或x²=-16y．

点评 本题给出抛物线的焦点坐标、准线方程，求它的标准方程，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．