Question

13．（1）求函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+4x+1}$（0≤x≤3）的值域；
（2）已知二次函数f（x）=-x²+2ax+1-a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）换元，利用二次函数、指数函数的单调性，可得函数的值域；
（2）分类讨论，利用函数在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．

解答 解：（1）令t=-x²+4x+1（0≤x≤3），∴t∈[1，5]，∴$y=（\frac{1}{2}）^{t}$∈[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$]，
所以f（x）的值域为[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$]…（6分）
（2）函数f（x）的对称轴为：x=a，
当a＜0时，f（x）在[0，1]上递减，∴f（0）=2，1-a=2，∴a=-1； …（8分）
当a＞1时，f（x）在[0，1]上递增，∴f（1）=2，即a=2； …（10分）
当0≤a≤1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]上递减，∴f（a）=2，即a²-a+1=2，解得：a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$与0≤a≤1矛盾．
综上：a=-1或a=2．…（12分）

点评 本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想，正确转化与分类是关键．