Question

10．已知三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，满足$C=\frac{π}{6}$且$b=4\sqrt{3}sinB$，则三角形ABC面积的最大值为6+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出c，利用余弦定理以及基本不等式求出ab的范围，然后求解三角形的面积．

解答 解：因为$C=\frac{π}{6}$，又$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}$，得${c}=2\sqrt{3}$，
而${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC={a^2}+{b^2}-\sqrt{3}ab≥（{2-\sqrt{3}}）ab$，
所以$ab≤\frac{12}{{（{2-\sqrt{3}}）}}=12（{2+\sqrt{3}}）$，当且仅当$a=b=\sqrt{12（{2+\sqrt{3}}）}$时等号成立，
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{4}ab≤3（{2+\sqrt{3}}）=6+3\sqrt{3}$，即当$a=b=\sqrt{12（{2+\sqrt{3}}）}$时，
三角形ABC面积最大值为$6+3\sqrt{3}$．
故答案为：6+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．