Question

3．已知曲线C：（t+1）x²+y²-2（a²+2at）x+3at+b=0，直线l：y=t（x-1），若对任意实数t，曲线C恒过一定点P（1，0）
（1）求定值a，b．
（2）直线l截曲线C所得弦长为d，记f（t）=$\frac{d}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，则当t为何值时，f（t）有最大值，最大值是多少？
（3）若点M（x₀，y₀）在曲线C上，又在直线l上，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C恒过定点P（1，0），可得出（t+1）-2（a²+2at）+3at+b=0恒成立，即（1-a）t+1-2a²+b=0恒成立，即可求定值a，b．
（2）求出f（t）=$\frac{2|t|}{{t}^{2}+t+1}$=$\frac{2}{|t+\frac{1}{t}+1|}$．分类讨论，即可得出结论；
（3）由题设知x₀是方程（*）的解，x₀=1或x₀=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，利用△=（3x₀-5）（x₀+1）≤0，求x₀的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C恒过定点P（1，0），∴（t+1）-2（a²+2at）+3at+b=0恒成立，
即（1-a）t+1-2a²+b=0恒成立，
∴a=1，b=1．
（2）由（1）知曲线C为：（t+1）x²+y²-2（1+2t）x+3t+1=0，
以y=t（x-1）代入得（t²+t+1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+1=0（*），
∴x₁=1，x₂=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，
∴d=$\sqrt{1+{t}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2|t|\sqrt{1+{t}^{2}}}{{t}^{2}+t+1}$，
∴f（t）=$\frac{2|t|}{{t}^{2}+t+1}$=$\frac{2}{|t+\frac{1}{t}+1|}$．（t≠0，否则y=0，f（t）=0）
当t＞0时，|t+$\frac{1}{t}$+1|=t+$\frac{1}{t}$+1≥3，这时f（t）≤$\frac{2}{3}$；
当t＜0时，t+$\frac{1}{t}$≤-2，t+$\frac{1}{t}$+1≤-1，|t+$\frac{1}{t}$+1|≥1，这时f（t）≤2，（t=-1时取等号）．
综上讨论：f（t）_max=2，这时t=-1．
（3）由题设知x₀是方程（*）的解，∴x₀=1或x₀=$\frac{{t}^{2}+3t+1}{{t}^{2}+t+1}$，
当（x₀-1）t²+（x₀-3）t+x₀-1=0，x²≠1时必须有△=（3x₀-5）（x₀+1）≤0．
∴x₀∈[-1，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题考查曲线过定点，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．