Question

11．已知n∈N^*，数列{d_n}满足${d_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^n}}}{2}$，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又在数列{b_n}中b₁=2，且对?m，n∈N^*，$b_n^m=b_m^n$．
（ I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（ II）将数列{b_n}中的第a₁项、第a₂项、第a₃项、…、第a_n项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前2016项的和T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （I）由${d_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^n}}}{2}$，考虑n为奇数、偶数，即可得到a_n=3n：令m=1，可得b_n=2ⁿ；
（II）由题意可得新的数列{c_n}中的奇数项和偶数项分别构成首项b₁=2，b₂=4，公比均为8的等比数列，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（I）由${d_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^n}}}{2}$，
可得a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=$\frac{3-1+3+1+…+3+1}{2}$=$\frac{3•2n}{2}$=3n，
在$b_n^m=b_m^n$中，令m=1可得b_n=b₁ⁿ=2ⁿ，
由b_n=2ⁿ，可得b_n^m=2^mn，b_mⁿ=2^mn，$b_n^m=b_m^n$恒成立；
若b_n≠2ⁿ，则当m=1时，$b_n^m=b_m^n$不成立．
故b_n=2ⁿ；
（II）将数列{b_n}中的第a₁项、第a₂项、第a₃项、…、第a_n项删去后，
剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列{c_n}，
可得新的数列{c_n}中的奇数项和偶数项分别构成首项b₁=2，b₂=4，公比均为8的等比数列，
则数列{c_n}的前2016项的和T₂₀₁₆=（c₁+c₃+…+c₂₀₁₅）+（c₂+c₄+…+c₂₀₁₆）
=$\frac{2（1-{8}^{1008}）}{1-8}$+$\frac{4（1-{8}^{1008}）}{1-8}$=$\frac{6×{8}^{1008}-6}{7}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查赋值法的运用以及恒成立思想，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．