Question

16．已知函数f（x）=（mx-1）e^x-x²．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m有且仅有两个整数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得m=1，进而由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；
（2）由题意可得f（x）＜-x²+mx-m即为m（xe^x-x+1）＜e^x，讨论x的符号，确定xe^x-x+1＞0，即有
m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，求出导数，再令令h（x）=2-x-e^x，求得导数，判断单调性和极值点，求得g（x）的单调区间，可得极值，结合条件可得不等式组，解不等式可得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（mx-1）e^x-x²的导数为：
f′（x）=（m+mx-1）e^x-2x=me^x（1+x）-e^x-2x，
可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=2me-e-2=e-2，
解得m=1，即有f（x）=（x-1）e^x-x²的导数为f′（x）=x（e^x-2），
由f′（x）＞0可得x＞ln2或x＜0；由f′（x）＜0可得0＜x＜ln2．
可得f（x）的单调增区间（-∞，0），（ln2，+∞）；单调减区间为（0，ln2）；
（2）关于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m即为m（xe^x-x+1）＜e^x，①
对于xe^x-x+1=x（e^x-1）+1，当x≥0时，e^x-1≥0，x（e^x-1）+1＞0．
当x＜0时，e^x-1＜0，x（e^x-1）+1＞0．
①即为m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}-x+1）^{2}}$，令h（x）=2-x-e^x，h′（x）=-1-e^x＜0，
又h（0）=1＞0，h（1）=1-e＜0，h（x）在R上递增，
可得x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，
则g（x）在（-∞，x₀）递增，在（x₀，+∞）递减，
g（x）在x₀处取得极大值，又g（0）=g（1）=1，
则关于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m有且仅有两个整数解，
只需m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$有且仅有两个整数解，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜g（0）=1}\\{m＜g（1）=1}\\{m≥g（-1）=\frac{1}{2e-1}}\\{m≥g（2）=\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}$≤m＜1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式存在整数解的求法，注意运用参数分离和构造函数法，以及运用单调性和零点存在定理，考查转化思想和化简整理的运算能力，属于难题．