Question

13．如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形，ABCD为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面PDCE⊥平面ABCD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，PD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结PC，交DE与N，连结MN，证明：MN∥AC．然后证明AC∥平面MDE．
（Ⅱ）设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为θ，以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD的单位法向量为$\overrightarrow{n_1}$，面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，
△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，∴MN∥AC．…（2分）
因为MN?平面MDE，又AC?平面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）
（Ⅱ）解：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为θ，以D为空间坐标系的原点，
分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则$P（0，0，\sqrt{2}），B（1，1，0），C（0，2，0）$，$\overrightarrow{PB}=（1，1，-\sqrt{2}），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$．
设平面PAD的单位法向量为$\overrightarrow{n_1}$则可设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，0）．…（7分）
设面PBC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，1），应有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PB}=（x，y，1）•（1，1，-\sqrt{2}）=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=（x，y，1）•（-1，1，0）=0.\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}x+y-\sqrt{2}=0\\-x+y=0.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．…（10分）
$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，∴θ=60°..…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．