Question

11．已知三棱锥O-ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的体积为$\frac{256π}{3}$，则三棱锥O-ABC的体积是$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O-ABC的体积可求．

解答 解：三棱锥O-ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，
则AC=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×1×sin120°=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设球半径为R，由球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{256π}{3}$，解得R=4．
设△ABC的外接圆的圆心为G，
∴外接圆的半径为GA=$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}=1$，
∴OG=$\sqrt{{R}^{2}-G{A}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-1}=\sqrt{15}$．
∴三棱锥O-ABC的体积是$V=\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•OG=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\sqrt{15}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．