Question

10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆 Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求椭圆 Γ的方程；
（2）已知直线l不过点M，与椭圆 Γ相交于P，Q两点，若△MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由过点M（0，1）的椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）△MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MP⊥MQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标．

解答 解：（1）∵过点M（0，1）的椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b=1，
∴椭圆 Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）证明：∵△MPQ外接圆是以PQ为直径，故MP⊥MQ，
∴直线MP与坐标轴不垂直，
由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=-$\frac{1}{k}x+1$（k≠0），
将y=kx+1代入椭圆Γ的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
整理，得；（1+3k²）x²+6kx=1，
解得x=0，或x=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
∴P（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+1），即P（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
同理，求得Q（$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
∴直线l的方程为y=$\frac{\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}-\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}{\frac{6k}{{k}^{2}+3}+\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$（x-$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$）+$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，
化简，得直线l的方程为y=$\frac{{k}^{2}-1}{4k}x-\frac{1}{2}$，
∴直线l过定点（0，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查椭圆的概念和性质，直线和椭圆的位置关系，圆的性质等知识，意在考查转化和化归思想，数形结合思想和学生的运算求解能力，是中档题．