Question

12．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量，成本和售价如下表：

	年产量/亩	年种植成本/亩	每吨售价
黄瓜	4吨	1.2万元	0.55万元
韭菜	6吨	0.9万元	0.3万元

分别用x，y表示黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）
（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别种植黄瓜和韭菜各对少亩能够使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大？并求出此最大利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，写出约束条件，画出图象即可，
（Ⅱ）设出目标函数，欲求种植总利润最大，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

解答 解：（Ⅰ）设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，
则目标函数为z=（0.55×4x-1.2x）+（0.3×6y-0.9y）=x+0.9y．
线性约束条件为 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤50}\\{1.2x+0.9y≤54}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤50}\\{4x+3y≤180}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，作出不等式组表示的可行域，如图所示：
（Ⅱ）设总利润为z万元，由图象易求得点 A（0，50），B（30，20），C（0，45）．
平移直线z=x+0.9y，可知当直线z=x+0.9y 经过点B（30，20），即x=30，y=20时，z取得最大值，且Z_max=48（万元）．
故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是30亩、20亩时，利润最大．

点评 在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件②由约束条件画出可行域③分析目标函数Z与直线截距之间的关系④使用平移直线法求出最优解⑤还原到现实问题中．