Question

已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y-9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：
（i）直线AB的方程；
（ii）△FAB与△FCB的面积之比．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等．可得动点P的轨迹E是抛物线．
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4y2，相减可得2y₀•k_AB=4，由直线l的斜率k_l=-

1

2

，可得k_AB=2，解得y₀，代入直线l的方程可得M，利用点斜式可得直线AB的方程．
（ii）令x=-1，代入直线AB的方程解得C．联立

2x-y-4=0 y2=4x

，解得A，B，利用

S△FAB

S△FBC

=

|AB|

|BC|

即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等．
∴动点P的轨迹E是抛物线：点F为焦点，直线x=-1为准线，可得方程为：y²=4x．
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），
把A，B的坐标代入抛物线方程可得：

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4y2，
相减可得

(y1-y2)(y1+y2)

x1-x2

=4，
∴2y₀•k_AB=4，
∵kAB×(-

1

2

)=-1，
∴k_AB=2．∴2y₀=2，解得y₀=1，
代入方程2x+4y-9=0可得2x₀+4-9=0，解得x₀=

5

2

．
∴M(

5

2

，1)，可得直线AB的方程为：y-1=2(x-

5

2

)，化为2x-y-4=0．
（ii）令x=-1，代入直线AB的方程2x-y-4=0，解得y=-6，∴C（-1，-6）．
联立

2x-y-4=0 y2=4x

，解得

x=1 y=-2

或

x=4 y=4

，
∴A（4，4），B（1，-2），|AB|=

32+62

=3

5

，|BC|=

22+42

=2

5

．
∴

S△FAB

S△FBC

=

|AB|

|BC|

=

3

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得出交点、两点之间的距离公式、三角形面积之比、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．