Question

求证：对任意自然数n，总有

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-1

2n

＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：直接利用错位相减法求出数列的和，则数列不等式可证．

解答： 证明：令S_n=

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-1

2n

，
则

1

2

Sn=

1

4

+

3

8

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
作差得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n

，
∴Sn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n-1

＜3．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．