Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，AB=1，P为∠BAC平分线上异于A的一点，∠APB=α，三角形PAB的面积记为S．
（1）求BC的长；
（2）若α∈[

π

6

，

π

3

]，求S的取值范围．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：三角函数的求值

分析：（1）BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA，利用余弦定理得出即可．
（2）根据正弦x定理：

1

sinα

=

x

3 2

=

y

sin( 2π 3 -α)

，x=

3

2sinα

，y=

sin( 2π 3 -α)

sinα

=

3

2

cotα+

1

2

，利用面积公式求解得出：三角形PAB的面积记为S=

1

2

•x•ysinα=

3

8

cotα+

3

8

，α∈[

π

6

，

π

3

]，再根据单调性求解即可．

解答： 解：（1）∵△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，AB=1，
∴BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=9+1-2×3×1×(-

1

2

)=13
∴BC=

13

，
（2）设x=PB，y=PA，∠APB=α，∠PBA=

2π

3

-α，
根据正弦x定理：

1

sinα

=

x

3 2

=

y

sin( 2π 3 -α)

，
x=

3

2sinα

，y=

sin( 2π 3 -α)

sinα

=

3

2

cotα+

1

2

，
∴三角形PAB的面积记为S=

1

2

•x•ysinα=

3

8

cotα+

3

8

，α∈[

π

6

，

π

3

]，
∵y=cotα单调递减，
∴α=

π

6

，y_大=

3

8

×

3

+

3

8

=

3

2

，
α=

π

3

，y_小=

3

8

×

3

3

+

3

8

=

3

4

，
∴S的取值范围：[

3

4

，

3

2

]

点评：本题考查了三角形中的定理，正弦定理，余弦定理，面积公式，三角函数的单调性，综合性较强，难度较大．