Question

求下列函数的值域：
（1）y=3cos（2x+

π

3

），（-

π

6

≤x≤

π

6

）
（2）y=-2sin（x+

π

3

），（-

π

2

≤x≤

π

2

）
（3）y=cos²x-2cosx+3，（x∈R）
（4）y=sin²x-cosx+1，（x∈R）

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由x得范围得到2x+

π

3

的范围，则函数值域可求；
（2）由x得范围得到x+

π

3

的范围，则函数值域可求；
（3）函数为关于cosx的二次函数，由-1≤cosx≤1利用配方法求得函数值域；
（4）化正弦为余弦，然后由-1≤cosx≤1利用配方法求得函数值域．

解答： 解：（1）∵（-

π

6

≤x≤

π

6

），∴2x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，
则y=3cos（2x+

π

3

）的值域为[-

1

2

，1]；
（2）∵-

π

2

≤x≤

π

2

，∴x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
则y=-2sin（x+

π

3

）的值域为[-2，1]；
（3）y=cos²x-2cosx+3=（cosx-1）²+2，
∵-1≤cosx≤1，∴y∈[2，6]；
（4）y=sin²x-cosx+1=-cos²x-cosx+2
=-(cosx+

1

2

)2+

9

4

，
∵-1≤cosx≤1，∴y∈[0，

9

4

]．

点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了二次函数值域的求法，是基础题．