设F为抛物线y2=2x-1的焦点,Q (a,2)为直线y=2上一点,若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|,则a的值为 .
【答案】
分析:先设P(x,y),根据抛物线的方程易得抛物线y
2=2x-1的焦点坐标,由|PF|=|PQ|利用两点间的距离公式结合抛物线的方程消x得出关于y的一元方程(a-1)y
2+4y-a
2+a-4=0,通过讨论此方程解的情况即可求出正确答案.
解答:解:设P(x,y).
易得抛物线y
2=2x-1的焦点:F(1,0)
由|PF|=|PQ|⇒(x-1)
2+y
2=(x-a)
2+(y-2)
2对上式整理得:2(a-1)x=a
2-4y+3
2(a-1)x=a
2-4y+3
将2x=y
2+1代入上式得:(a-1)y
2+4y-a
2+a-4=0
当a=1时⇒方程只有一解:x=1,y=1
当a≠1时,由△=0⇒a=0⇒方程只有一解:x=
,y=2
综上所述:a=0或a=1.
故答案为:0或1.
点评:本小题主要考查抛物线的简单性质、抛物线的方程的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想.属于基础题.