Question

设函数f(x)=ax-

a

x

-2lnx
（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据f（x）在x=2时有极值可知f′（2）=0，求出a的值，然后根据导数符号确定函数的单调区间；
（II）若f（x）在定义域上是增函数，则f'（x）≥0在x＞0时恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值，即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在x=2时有极值，
∴有f′（2）=0，…（2分）
又f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

，∴有a+

a

4

-1=0，
∴a=

4

5

…（5分）
∴有f′(x)=

4

5

+

4

5x2

-

2

x

=

2

5x2

(2x2-5x+2)，
由f′（x）=0有x1=

1

2

，x2=2，…（7分）
将x，f′（x），f（x）关系列表如下，定义域为（0，+∞）

x	0＜x＜ 1 2	x= 1 2	1 2 ＜x＜2	x=2	x＞2
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

∴f（x）的递增区间为(0，

1

2

]和[2，+∞），递减区间为(

1

2

，2)…（9分）
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，则f'（x）≥0在x＞0时恒成立，…（10分）
∵f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
∴需x＞0时ax²-2x+a≥0恒成立，…（11分）
化为a≥

2x

x2+1

恒成立，
∵

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
∴a≥1，此为所求．…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调区间，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．