Question

6．已知a＞0，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=l处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间：
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意x∈[l，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求实数b的取值组成的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}$-（3a+1），由导数的几何意义得f′（1）=1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a=3，由此能求出a的值．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}-（3a+1）$=$\frac{（x-2a）[x-（a+1）]}{x}$，由此根据a＞1，0＜a＜1，a=1，进行分类讨论，由此能求出f（x）的增区间．
（Ⅲ）当a=$\frac{3}{2}$时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{15}{2}lnx-\frac{11}{2}x$，该函数在（0，$\frac{5}{2}$）上单调递增，在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到，由此能求出实数b的取值组成的集合．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x，
∴${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}$-（3a+1），
∵函数f（x）在x=l处的切线与直线y-3x=0平行，
∴f′（1）=1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a=3，
解得a=$\frac{3}{2}$或a=-1．
又a＞0，∴a=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）∵a＞0，函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}-（3a+1）$=$\frac{{x}^{2}-（3a+1）x+2a（a+1）}{x}$=$\frac{（x-2a）[x-（a+1）]}{x}$，
①当2a＞a+1，即a＞1时，
由f′（x）＞0，得x＞2a或0＜x＜a+1，
∴f（x）的单调增区间是（0，a+1），（2a，+∞）．
②当2a＜a+1，即0＜a＜1时，
由f（x）＞0，得x＞a+1或0＜x＜2a，
∴f（x）的单调增区间是（0，2a），（a+1，+∞）．
③当2a=a+1，即a=1时，f′（x）≥0恒成立，（只在x=2a处处等于0），
∴f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）的增区间是（0，a+1），（2a，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是（0，2a），（a+1，+∞）；
当a=1时，f（x）的增区间是（0，+∞）．
（Ⅲ）当a=$\frac{3}{2}$时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{15}{2}lnx-\frac{11}{2}x$，
由（Ⅱ）知该函数在（0，$\frac{5}{2}$）上单调递增，
∴在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（10分）
又f（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{11}{2}$=-5，…（11分）
若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，
应该有-5≥b²+6b，即b²+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，…（13分）
∴实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（14分）

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的增区间的求法，考查满足条件的实数的取值集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．