Question

16．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用方程组思想，求函数f（x）及g（x）的解析式．
（2）利用函数单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）+g（x）=2log₂（1-x），
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x）①，
又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x）②，
∴由①②得：g（x）=log₂（1-x²），f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
（2）由$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$∈（-1，1），可得f（2^x）＜0，
∵当x＜0时，函数f（2^x）单调递减，
∴当m＜0时，关于x的方程f（2^x）=m有解，
∴实数m的取值范围是m＜0．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法--方程组法；考查对数函数的单调性，属于中档题．