Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1
（Ⅰ）求证：AH⊥面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）设点N在线段PB上，且

PN

PB

=λ，MN∥平面ABC，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AH⊥面PBC，只要证AH垂直于面PBC内的两条相交直线即可，由已知易证AH⊥PC，再由已知结合线面垂直的判断证得BC⊥面PAC，则BC⊥AH，然后由线面垂直的判断得结论；
（Ⅱ）以A为坐标原点，过A平行于CB的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
由空间向量求线面角；
（Ⅲ）由

PN

PB

=λ，把N点坐标用含有λ式子表示，由

MN

与平面ABC的一个法向量（0，0，1）的数量积为0列式求得λ的值．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥面PAC，
又AH?面PAC，
∴AH⊥BC，
∵H为PC的中点，且PA=AC，
∴AH⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴AH⊥面PBC；
（Ⅱ）解：如图，

以A为坐标原点，过A平行于CB的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，2，0），H（0，1，1），P（0，0，2），M（0，

1

2

，

1

2

）．
则

MP

=(0，-

1

2

，

3

2

)，

AB

=(1，2，0)，

AH

=(0，1，1)，
设平面AHB的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则由

m • AB =0 m • AH =0

，得

x+2y=0 y+z=0

，
取z=-1，则y=1，x=-2．
∴

m

=(-2，1，-1)．
∴PM与平面AHB所成角的正弦值为|cos＜

m

，

MP

＞|=|

m • MP

| m |•| MP |

|
=|

- 1 2 - 3 2

(- 1 2 )2+( 3 2 )2 • (-2)2+12+(-1)2

|=

2 15

15

；
（Ⅲ）解：设N（x₁，y₁，z₁），
由

PN

PB

=λ，得

PN

=λ

PB

，
即（x₁，y₁，z₁-2）=λ（1，2，-2），
解得：N（λ，2λ，2-2λ）．
则

MN

=(λ，2λ-

1

2

，

3

2

-2λ)．
∵MN∥平面ABC，
∴

3

2

-2λ=0，解得λ=

3

4

．
∴MN∥平面ABC时实数λ的值为

3

4

．

点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用空间直角坐标系求线面角，是中高档题．