Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数）．设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1
B．c²=a²+b²
C．c²=a²+b²
D．0

Answer 1

【答案】分析：根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
解答：解：由题意，白蚂蚁爬行路线为AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．
所以黑蚂蚁爬完2011段后回到A点，
同理，白蚂蚁爬完2011段后到回到D点；
所以它们此时的距离为1．
故选A．
点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题目．