Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=4，连接B₁C，在CC₁上有点E，使得A₁C⊥平面EBD，BE交B₁C于F．
（1）求ED与平面A₁B₁C所成角的大小；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D，由长方体的几何特征，易证BE⊥平面A₁B₁C，连接DF，则∠EDF为ED与平面A₁B₁C所成的角，解Rt△EDF，即可得到ED与平面A₁B₁C所成角的大小；
（2）连接EO，易由（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角，解Rt△EOC，即可求出二面角E-BD-C的大小．

解答：解：（1）连接A₁D，由A₁B₁∥CD，知D在平面A₁B₁C内，由A₁C⊥平面EBD．
得A₁C⊥EB又∵A₁B₁⊥BE，∴BE⊥平面A₁B₁C，即得F为垂足．
连接DF，则∠EDF为ED与平面A₁B₁C所成的角．
∵AB=BC=3，BB₁=4，
∴B₁C=5，BF=

12

5

∴CF=

9

5

，B₁F=

16

5

，EF=

27

20

，EC=

9

4

，ED=

15

4

在Rt△EDF中，sin∠EDF=

9

25

∴ED与平面A₁B₁C所成角arcsin

9

25

（2）连接EO，由EC⊥平面BDC，且AC⊥BD，知EO⊥BD
∴∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角
∵EC=，OC=

3 2

2

∴在Rt△EOC中，tan∠EOC=

EC

OC

=

3 2

4

∴二面角E-BD-C的大小为arctan

3 2

4

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是得到∠EDF为ED与平面A₁B₁C所成的角，（2）的关键是得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角．