Question

已知方向向量为v＝(1，)的直线l过点(0，)和椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，且满足·＝cot∠MON≠0(SO为原点)？若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)直线l：y＝，① 　　过原点垂直于l的直线方程为y＝x，② 　　解①②得x＝． 　　因为椭圆中心O(0，0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，所以＝3，又直线l过椭圆焦点，于是该焦点坐标为(2，0)． 　　∴c＝2，a2＝6，b2＝2． 　　故椭圆C的方程为＝1．③ 　　(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　当直线m不垂直于x轴时，直线my＝k(x＋2)， 　　代入③，整理得(3k2＋1)x2＋12k2x＋12k2－6＝0， 　　则x1＋x2＝，x1x2＝． 　　|MN|＝ 　　＝． 　　点O到直线MN的距离d＝． 　　∵·＝cot∠MON， 　　即||||cos∠MON＝≠0， 　　∴||||sin∠MON＝， 　　即(3k2＋1)． 　　整理得k2＝．∴k＝±． 　　当直线m垂直于x轴时，也满足S△OMN＝． 　　故直线m的方程为y＝或y＝或x＝－2． 　　经检验上述直线均满足·≠0， 　　所以所求直线方程为y＝或y＝或x＝－2．

提示：

本题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题的能力．利用椭圆的基本概念求得其标准方程，借助弦长公式，求出|MN|用k表示，求出S△DMN，利用其结果可知k的值．在解题中，要注意对斜率的讨论．