Question

11．设函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．
（1）证明：f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≥6；
（2）若不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集为非空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质证明即可；
（2）求出f（x）的解析式，画出图象，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）=（|x-a|+|2x-a|）+（|-$\frac{1}{x}$-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）
=（|x-a|+|-$\frac{1}{x}$-a|）+（|2x-a|+|-$\frac{2}{x}$-a|）≥|（x-a）-（-$\frac{1}{x}$-a）|+|（2x-a）-（-$\frac{2}{x}$-a）|
=|x+$\frac{1}{x}$|+|2x+$\frac{2}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$+|2x|+$\frac{2}{|x|}$≥6（当且仅当x=±1时取等号）
（2）函数f（x）=（x-a）+（2x-a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-3，（x≤a）}\\{-x，（a＜x≤\frac{a}{2}}\\{3x-2a，（x＞\frac{2}{a}）}\end{array}\right.$，
图象如图所示：

当x=$\frac{a}{2}$时，y_min=-$\frac{a}{2}$，依题意：-$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$，解得：a＞-1，
∴a的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，考查函数最值问题，是一道中档题．