Question

1．已知函数f（x）=x-1-lnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）对?x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．
（2）由于f（x）≥bx-2恒成立，得到b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，b≤g（x）_min即可

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，得x＞1，
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	0	↗

∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；
（2）依题意对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立
等价于x-1-lnx≥bx-2在（0，+∞）上恒成立
可得b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=e²
列表：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	1-$\frac{1}{{e}^{2}}$	↗

∴函数y=g（x）的最小值为g（e2）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．