Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=$\frac{π}{3}$，PA=PD，点E为CD边的中点，BD⊥PE．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=$\frac{π}{3}$，四棱锥P-ABCD的体积为2，求点A到平面PBE的距离．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点F，可得EF∥AC．由ABCD是菱形，可得BD⊥AC，则BD⊥EF，结合已知BD⊥PE，可得BD⊥平面PEF，得BD⊥PF．由等腰三角形的性质可得PF⊥AD，再由线面垂直的判定可得PF⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；
（2）设菱形ABCD的边长为a，由四棱锥P-ABCD的体积为2列式求得a，求解直角三角形可得PE，PB，BE，进一步求出三角形PBE的面积．利用等积法求点A到平面PBE的距离．

解答 （1）证明：如图，取AD的中点F，连接PF，EF，
在三角形DAC中，EF∥AC．
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，则BD⊥EF，
又BD⊥PE，∴BD⊥平面PEF，则BD⊥PF．
又PA=PD，点F是AD边中点，∴PF⊥AD，则PF⊥平面ABCD，
又PF?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：设菱形ABCD的边长为a，又PA=PD，$∠APD=\frac{π}{3}$，
∴${S}_{四边形ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∵${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}•PF=2$，∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2$，解得a=2，
在Rt△PFE中，由PF=$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{3}$，得PE=$\sqrt{6}$，
在Rt△PFB中，由PF=$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$，得PB=$\sqrt{6}$．
在△PEB中，PE=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{3}$，可得${S}_{△PBE}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
∵V_P-ABE=V_A-PBE，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
设点A到平面PBE的距离，则$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{7}}{4}d$，得d=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
∴点A到平面PBE的距离为$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．