Question

15．设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据1是2a与2b的等差中项建立关系，2a+2b=2，即a+b=1，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意：1是2a与2b的等差中项，则2a+2b=2，即a+b=1．
那么（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{b}{a}}$=2，（当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号）
故得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4．
故选B．

点评 本题考查了等差中项的性质以及“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．