Question

20．若函数y=f（x）与y=3^-x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4x-x²）的增区间为（　　）

• A． （2，4）
• B． （0，2）
• C． （-∞，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，可得y=f（4x-x²）的表达式，可求增区间．

解答 解：函数y=f（x）与y=3^-x的图象关于直线y=x对称，可知：他们互为反函数，
∴y=f（x）=-log₃x=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$
那么：f（4x-x²）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（4x-{x}^{2}）$，
令t=4x-x²
∵t＞0
∴0＜x＜4．
∵f（x）在其定义域内是单调减函数，
而t=4x-x²在（0，2）上单调递增，在（2，4）单调递减．
则复合函数函数y=f（4x-x²）的增区间为（2，4）．
故选A．

点评 本题考察了反函数的求法和对数函数的单调性的运用，以及复合函数的单调性的判断，依据是“同增异减”．属于中档题．