Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，1）$，$\overrightarrow n=（cosωx，{cos^2}ωx+1）$，设函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积运算求解出函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b，利用函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，1）$，$\overrightarrow n=（cosωx，{cos^2}ωx+1）$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b．
则$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+b=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx+1+b$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{3}{2}+b$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$．
（1）∵函数f（x）图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，
∴$2ω•\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）．
（2）由（1）知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$，
∵$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{4π}{3}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，即$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$时，函数f（x）单调递增；
$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{2}，\frac{4π}{3}}]$，即$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}}]$时，函数f（x）单调递减．
又$f（0）=f（\frac{π}{3}）$，
∴当$f（\frac{π}{3}）＞0≥f（\frac{7π}{12}）$或$f（\frac{π}{6}）=0$时函数f（x）有且只有一个零点．
即sin$\frac{4π}{3}$≤-b-$\frac{3}{2}$＜sin$\frac{5π}{6}$或$1+\frac{3}{2}+b=0$，
所以满足条件的$b∈（-2，\frac{{\sqrt{3}-3}}{2}]∪\left\{{-\frac{5}{2}}\right\}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．