Question

17．已知x为三角形中的最小角，则函数$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的值域为[$\sqrt{3}+1$，3]．

Answer 1

分析 由x为三角形中的最小内角，可得0＜x≤$\frac{π}{3}$，而$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，结合已知所求的x的范围可求y的范围．

解答 解：x为三角形中的最小内角，由三角形的内角和定理可知：
0＜x≤$\frac{π}{3}$，
$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
由0＜x≤$\frac{π}{3}$，即$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
$\sqrt{3}$+1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1≤3，
函数$y=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的值域[$\sqrt{3}+1$，3]
故答案为：[$\sqrt{3}+1$，3]．

点评 本题主要考查了辅助角公式的应用，考查三角形的内角和定理的应用，正弦函数的图象的性质，属于中档题．