Question

6．设函数f（x）=${e^x}（{{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2}）-2a{e^x}$-x，若不等式f（x）≤0在[-2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（　　）

• A． $-\frac{3}{2}-\frac{1}{e}$
• B． $-\frac{3}{2}-\frac{2}{e}$
• C． $-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$
• D． $-1-\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 依题意，可得2a≥[$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$]_min（x≥-2），构造函数g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，也是最小值，从而可得答案．

解答 解：f（x）=${e^x}（{{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}-6x+2}）-2a{e^x}$-x≤0在[-2，+∞）上有解
?2ae^x≥${e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）$-x在[-2，+∞）上有解
?2a≥[$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$]_min（x≥-2）．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2）-x}{{e}^{x}}$=${x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-6x+2$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=3x²+3x-6-$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+6+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
∵x∈[-2，+∞），
∴当x∈[-2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[-2，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+$\frac{3}{2}$-6+2-$\frac{1}{e}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，也是最小值，
∴2a≥-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{e}$，
∴a≥$-\frac{3}{4}-\frac{1}{2e}$．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．