Question

15．已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 sinA+2sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）+2sinBcosC=0，展开化为：3sinBcosC+cosBsinC=0，cosC≠0，cosB≠0．因此3tanB=-tanC．可得：B为锐角，C为钝角．tanA=-tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵sinA+2sinBcosC=0，∴sin（B+C）+2sinBcosC=0，
∴3sinBcosC+cosBsinC=0，cosC≠0，cosB≠0．
化为3tanB=-tanC．可得：B为锐角，C为钝角．
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{-（tanB-3tanB）}{1+3ta{n}^{2}B}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tanB}+3tanB}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．
∴tanA的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．