Question

15．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+3-a（a，b，c∈R，且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．
（1）用关于a的代数式分别表示b和c；
（2）当a=1时，求f（x）的极小值；
（3）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据极值的条件得出由$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2}\\{{f}^{′}（-1）=0}\end{array}\right.$求解即可．
（2）求解$f'（x）=3{x^2}+4x+1=3（x+1）（x+\frac{1}{3}）$，令f'（x）=0得：x=-1或$x=-\frac{1}{3}$，列表判断极值．
（3）根据f（-1）=2为极大值，必须$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{a-2}{3a}＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{a-2}{3a}＜-1}\end{array}\right.$，求解不等式即可．

解答 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c，由$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=2}\\{{f}^{′}（-1）=0}\end{array}\right.$解得：b=a+1，c=2-a，
（2）当a=1时，b=2，c=1
∴f（x）=x³+2x²+x+2
$f'（x）=3{x^2}+4x+1=3（x+1）（x+\frac{1}{3}）$
令f'（x）=0得：x=-1或$x=-\frac{1}{3}$，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（$-1，-\frac{1}{3}$）	$-\frac{1}{3}$	（$-\frac{1}{3}，+∞$）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴当$x=-\frac{1}{3}$时，函数f（x）有极小值  $f（-\frac{1}{3}）=\frac{50}{27}$，
（3）f'（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a令f'（x）=0，则$3a•（x+1）•（x-\frac{a-2}{3a}）=0$
∴x=-1或$x=\frac{a-2}{3a}$
要使f（-1）=2为极大值，必须$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{a-2}{3a}＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{a-2}{3a}＜-1}\end{array}\right.$
∴a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了导数在解决极值问题中的运用，结合不等式，列表求解判断，属于考查综合能力的题目．