Question

3．A，B两位同学各有五张卡，现以投掷均匀硬币的方式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止；
（1）求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
（2）设ξ表示“游戏已进行五次时同学A拥有的卡片数”，求Eξ．

Answer 1

分析 （1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．对m分类讨论即可得出．
（2）假设A赢了B，5次终止，那么A赢了4次，B赢了1次． B的这一次只能发生在前三次中（前三中还不发生，A就赢了），也就是有三种情况，每种情况概率均为$（\frac{1}{2}）^{5}$，且还有B赢A的情况，则最后概率为$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

解答 解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，
正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．
可得：当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7．
所以ξ的所有可能取值为：5，7．
P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2$（\frac{1}{2}）^{5}$+2${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{7}$=$\frac{9}{64}$．
（2）ξ表示“游戏已进行五次时同学A拥有的卡片数”，则ξ=0，1，2，3，4，7，8，9，10．
假设A赢了B，5次终止，那么A赢了4次，B赢了1次． B的这一次只能发生在前三次中（前三中还不发生，A就赢了），也就是有三种情况，每种情况概率均为$（\frac{1}{2}）^{5}$，且还有B赢A的情况，则最后概率为$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

点评 本题考查了二项分布列的概率与首项期望计算公式、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．