Question

5．已知a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证：
（1）（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}{b}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）≥8；  
  （2）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵a，b，c∈（0，+∞），∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}{b}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{b+c}{a}•\frac{a+c}{b}•\frac{a+b}{c}$≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8．…（5分）
（2）∵a，b，c∈（0，+∞），∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
2（a+b+c）≥2$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{bc}$+2$\sqrt{ca}$，
两边同加a+b+c得3（a+b+c）≥a+b+c+2$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{bc}$+2$\sqrt{ca}$=（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²．
又a+b+c=1，∴（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．