Question

14．设a是实数，f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）
（1）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．
（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0；
（2）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．

解答 解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，
所以a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
因为x∈R，所以2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1
所以-1＜-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜0，
所以-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
所以f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数奇偶性，此题单调性用定义比用导数容易一些，（2）中的值域主要利用反比例函数模型结合不等式的性质求解．