Question

9．已知函数f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的对称中心及单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），从而可求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；
（2）利用正弦函数的对称中心以及单调增区间求解函数的对称中心以及单调增区间即可．

解答 解：（1）∵f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\sqrt{3}$
=sin2x+$\sqrt{3}$（1-cos2x）-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2x-$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）得，x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
∴其对称中心为：（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z）；
2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x∈[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查其周期性与对称性及单调性与最值，属于中档题．