Question

13．已知 x，y∈（-1，1），则$\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}$的最小值为$4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意，$\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}$表示（x，y）与（-1，1），（-1，-1），（1，-1），（1，1）的距离的和，根据图形的对称性，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y+1}）}^2}}+\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}}$表示（x，y）与（-1，1），（-1，-1），（1，-1），（1，1）的距离的和，显然点在原点时，距离和最小，最小为$4\sqrt{2}$．
故答案为$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．