Question

2．如图，在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，并进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}λ$+μ）$\overrightarrow{AD}$+（λ-$\frac{1}{2}$μ）$\overrightarrow{AB}$，根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）+μ（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=（$\frac{1}{2}λ$+μ）$\overrightarrow{AD}$+（λ-$\frac{1}{2}$μ）$\overrightarrow{AB}$，
∴由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}λ+μ=1}\\{λ-\frac{1}{2}μ=1}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{6}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$
故选：D

点评 本题考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于中档题