Question

16．已知三个集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-bx+2=0}，问同时满足B?A，A∪C=A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由已知得a-1=1，A∪C=A，由此利用分类讨论求出结果．

解答 解：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，
又B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A，∴a-1=1，即a=2，∵A∪C=A，∴C⊆A，则C中的元素有以下三种情况：
①若C=∅时，即方程x²-bx+2=0无实根，
∴$△={b^2}-8＜0，-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
②若C={1}或C={2}，即方程x²-bx+2=0有两个相等的实根，
∴$△={b^2}-8=0，b=±2\sqrt{2}$，此时$C=\left\{{\sqrt{2}}\right\}$或$C=\left\{{-\sqrt{2}}\right\}$，不符合题意，舍去．
③若C={1，2}时，则b=1+2=3，而两根之积恰好等于2，
故同时满足B$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$A，A∪C=A的实数a，b存在．
综上所述，$a=2，-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$或b=3．

点评 本题考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．