Question

已知F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），点P满足|PF1|+|PF2|=2

3

，记点P的轨迹为E
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）设轨迹E与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．已知A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由椭圆的定义求得椭圆的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线与椭圆的交点M，N的坐标，设出MN的中点坐标，利用点差法得到M，N的坐标及其中点坐标与k的关系，把MN的中点代入直线方程得到直线方程中m与k的关系，由中点在椭圆内部求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
点P满足|PF1|+|PF2|=2

3

，
∵|PF1|+|PF2|=2

3

＞2

2

=|F1F2|，
∴点P的轨迹为以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的椭圆，且a=

3

，c=

2

，
则b²=a²-c²=1．
∴点P的轨迹为E的方程为：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点Q（x₀，y₀），则有
x12+3y12=3    ①，
x22+3y22=3   ②
②-①得：（x₂-x₁）（x₂+x₁）+3（y₂-y₁）（y₂+y₁）=0  ③
x₂+x₁=2x₀，y₂+y₁=2y₀，

y2-y1

x2-x1

=k，代入③得
x₀+3ky₀=0  ④
∵AM=AN，
∴AQ⊥MN，
∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即
x₀+ky₀+k=0  ⑤
④⑤联立解得：Q（-

3k

2

，

1

2

）
代入y=kx+m得：

1

2

=-

3k2

2

+m，
m=

3k2+1

2

  ⑥
∵Q在椭圆面区域内部，
∴(-

3k

2

)2+(

1

2

)2＜1，
即0≤3k²＜1
∴

1

2

≤

3k2+1

2

＜1．
即m∈[

1

2

，1）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”在解题中的应用，是中档题．