Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）是椭圆C的两个焦点，过F₁的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由A（-4，0），B（4，0）．当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．根据椭圆的对称性，取M（-2，3），∠AMB即直线AM到直线MB的角．由此能够求出∠AMB的大小．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y²=b²（1-

4

a2

）=

b4

a2

，
∴|y₁-y₂|=

b2

a

，即|AB|=

2b2

a

．
若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y=k（x+2），代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

x2

a2

+

k2(x2+4x+4)

b2

=1，
即 （a²k²+b²）x²+4a²k²x+a²（4k²-b²）=0．
△=（4a²k²）²-4（a²k²+b²）a²（4k²-b²）
=4a²b²[（a²-4）k²+b²]=4a²b⁴（1+k²），
∴|x₁-x₂|=

2ab2 1+k2

a2k2+b2

，
∴|MN|=

2ab2 1+k2

a2k2+b2

•

1+k2

=

2ab2(1+k2)

a2k2+b2

=

2b2

a

•

1+k2

k2+ b2 a2

＞

2b2

a

．
综上，|MN|的最小值为

2b2

a

．
由题知

2b2

a

=6，即 b²=3a．
代入a²-b²=4，得a²-3a-4=0，
解得a=-1（舍），或a=4．∴b²=12．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．
根据椭圆的对称性，不妨取M（-2，3），
∠AMB即直线AM到直线MB的角．
∵AM的斜率k₁=

3-0

-2+4

=

3

2

，
BM的斜率k₂=

3-0

-2-4

=-

1

2

，
∴tan∠AMB=

k2-k1

1+k1k2

=-8．
∵∠AMB∈（0，π），
∴∠AMB=π-arctan8．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．