Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由条件知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直关系即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，
由c=2，2a=2，∴b²=3，故轨迹E的方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．（7分）
∵MP⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ．

点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，利用两个向量的数量积公式及双曲线的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．